\chapter[Modele z zastosowaniami]{Wybrane modele kolorowania i ich zastosowanie}
% \section{Model Klasyczny}
% Najbardziej intuicyjny i pierwszy jaki był rozpatrywany. Polega on na tym że sąsiadujące elemenety kolorowane (wierzchołki/krawędzie/ściany) muszą otrzymać różne barwy np. przy 
% kolorowaniu krawędzi w każdym wierzchołku każda krawędź z niego wychodząca musi być różnego koloru. Wspomniane było już na początku że nie zależnie od tego które elementy grafu 
% kolorujemy zawsze możemy sprowadzić problem do innego (np. kolorowanie krawędzi do kolorowania wierzchołków) przez odpowiednie przekształcenie grafu. Zdarzają się również sytuacje 
% w których pokolorować należy nie tylko jeden rodzaj obiektu np krawędzie i wierzchołki ale i na to można znaleźć zawsze przekształcenie grafu które uprości problem. Najpierw
% omówmy podstawowe problemy.
% 
% Podstawowymi przekształceniami są:
% \begin{itemize}
%  \item Z kolorowania ścian (map) w kolorowanie wierzchołków i odwrotnie - graf dualny
% \end{itemize}
\begin{tikzpicture}
	\tikzstyle{Vbase}=[inner sep=0, minimum size=6, draw=black,circle]
	\tikzstyle{Ebase}=[thick]
	\tikzstyle{Vdual}=[inner sep=0, minimum size=6, draw=gray!70, fill=lightgray!70,rectangle]
	\tikzstyle{Edual}=[draw=gray, densely dashed]

	\node(a)[Vbase] at (0.5,0.5) {};
	\node(b)[Vbase] at (5,0) {}
		edge[Ebase, bend left] (a);
	\node(c)[Vbase] at (2,1) {}
		edge[Ebase] (a)
		edge[Ebase] (b);
	\node(d)[Vbase] at (4,2) {}
		edge[Ebase] (b)
		edge[Ebase, bend right] (c);
	\node(e)[Vbase] at (2,4) {}
		edge[Ebase, bend right] (a)
		edge[Ebase] (d);
	\node(f)[Vbase] at (5,4) {}
		edge[Ebase, bend left] (b)
		edge[Ebase] (d)
		edge[Ebase, bend right] (e);

	\node(A)[Vdual] at (2.4, 0) {};
	\node(B)[Vdual] at (3.5,1.2) {}
		edge[Edual] (A);
	\node(C)[Vdual] at (1.5,2.3) {}
		edge[Edual, bend right] (A)
		edge[Edual] (B);
	\node(D)[Vdual] at (3.6,3.5) {}
		edge[Edual] (C);
	\node(E)[Vdual] at (4.9, 2) {}
		edge[Edual] (D)
		edge[Edual] (B);
	\node(F)[Vdual] at(-0.5, 2) {}
		edge[Edual, bend right=100] (A)
		edge[Edual] (C)
		edge[Edual, bend left=90] (D)
		edge[Edual, controls=(130:8) and (30:12), in=0] (E);

\end{tikzpicture}

\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
	\tikzstyle{Vbase}=[inner sep=0, minimum size=6, draw=black,circle]
	\tikzstyle{Ebase}=[thick]
	\tikzstyle{Vdual}=[inner sep=0, minimum size=6, draw=gray!70, fill=lightgray!70,rectangle]
	\tikzstyle{Edual}=[draw=gray, densely dashed]

	\node(a)[Vbase] at(0,0) {};
	\node(b)[Vbase] at(2,0) {}
		edge[Ebase] (a);
	\node(c)[Vbase] at(3,1) {}
		edge[Ebase] (b);
	\node(d)[Vbase] at(1,2) {}
		edge[Ebase] (a)
		edge[Ebase] (b);
	\node(e)[Vbase] at(4,2) {}
		edge[Ebase] (c);
	\node(f)[Vbase] at(2,3) {}
		edge[Ebase] (d)
		edge[Ebase] (c)
		edge[Ebase] (e);

	\node(A)[Vdual] at(1,0) {};
	\node(B)[Vdual] at(2.5, 0.5) {}
		edge[Edual, bend left=65] (A);
	\node(C)[Vdual] at(0.5, 1) {}
		edge[Edual] (A);
	\node(D)[Vdual] at(1.5,1) {}
		edge[Edual] (A)
		edge[Edual] (B)
		edge[Edual] (C);
	\node(F)[Vdual] at(3.5, 1.5) {}
		edge[Edual, bend left] (B);
	\node(G)[Vdual] at(2.5,2) {}
		edge[Edual] (B)
		edge[Edual] (F);
	\node(H)[Vdual] at(1.5, 2.5) {}
		edge[Edual, bend right=40] (C)
		edge[Edual] (D)
		edge[Edual] (G);
	\node(I)[Vdual] at(3, 2.5) {}
		edge[Edual, controls=(70:4.5) and (60:3), in=90] (H)
		edge[Edual] (F)
		edge[Edual] (G); 
\end{tikzpicture}
% Jak nie trudno się domyslić podstawowym zastosowaniem modelu jest przyczyna powstania jego i całego zagadnienia czyli kolorowanie map. 

